Recapitulare · Calcul algebric

Descompunerea în factori

A descompune o expresie în factori înseamnă a o scrie ca produs de factori care nu se mai pot descompune. Aici găsești metodele pe scurt și când o folosești pe fiecare; teoria completă și exercițiile sunt în cele două lecții de clasa a VIII-a.

Ce înseamnă descompunerea în factori

Descompunerea este drumul invers față de desfacerea parantezelor. Pornim de la o sumă și ajungem la un produs:

a⋅b+a⋅c=a(b+c)a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)

Descompunerea este completă abia când niciun factor nu se mai poate descompune. Orice rezultat se verifică desfăcând parantezele: trebuie să obții expresia de la care ai pornit.

Metodele, pe scurt

1. Metoda factorului comun

Se bazează pe distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere. Scoți în fața parantezei cel mai mare factor comun al coeficienților și fiecare literă comună, cu exponentul cel mai mic.

9x5−6x4+12x3=3x3(3x2−2x+4)9x^5 - 6x^4 + 12x^3 = 3x^3(3x^2 - 2x + 4)

Factorul comun poate fi și o paranteză întreagă:

(x+1)(2x−1)+(x+1)(3x+4)(x + 1)(2x - 1) + (x + 1)(3x + 4)
=(x+1)[(2x−1)+(3x+4)]= (x + 1)\left[(2x - 1) + (3x + 4)\right]factor comun (x + 1)
=(x+1)(5x+3)= (x + 1)(5x + 3)

Lecția: Descompunerea în factori: factor comun și grupare.

2. Gruparea termenilor

Când nu există un factor comun tuturor termenilor, îi grupezi astfel încât fiecare grup să aibă un factor comun, iar grupurile să dea aceeași paranteză.

5x+5y−ax−ay5x + 5y - ax - ay
=5(x+y)−a(x+y)= 5(x + y) - a(x + y)
=(x+y)(5−a)= (x + y)(5 - a)

Lecția: Descompunerea în factori: factor comun și grupare.

3. Formulele de calcul prescurtat

Citite de la dreapta la stânga, formulele transformă o sumă într-un produs:

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
a2±2ab+b2=(a±b)2a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

De exemplu, x2−16x+64=(x−8)2x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2 și x2−125=(x−15)(x+15)x^2 - \tfrac{1}{25} = \left(x - \tfrac{1}{5}\right)\left(x + \tfrac{1}{5}\right).

Lecția: Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat.

4. Metode combinate

Multe expresii cer mai multe metode, una după alta. Aici o diferență de pătrate dă doi factori, iar primul dintre ei se mai descompune prin grupare:

(x2+4x−3)2−4(x^2 + 4x - 3)^2 - 4
=(x2+4x−3−2)(x2+4x−3+2)= (x^2 + 4x - 3 - 2)(x^2 + 4x - 3 + 2)diferență de pătrate, cu 4 = 2²
=(x2+4x−5)(x2+4x−1)= (x^2 + 4x - 5)(x^2 + 4x - 1)
=(x−1)(x+5)(x2+4x−1)= (x - 1)(x + 5)(x^2 + 4x - 1)x² + 4x − 5 = x² − x + 5x − 5 = (x − 1)(x + 5)

Lecția: Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat.

Despărțirea termenului din mijloc

Un trinom de forma x2+bx+cx^2 + bx + c care nu este pătrat perfect se poate descompune uneori prin grupare, după ce scrii termenul din mijloc ca sumă a doi termeni. Cauți două numere cu suma bb și produsul cc.

x2+5x+6x^2 + 5x + 6
=x2+2x+3x+6= x^2 + 2x + 3x + 62 + 3 = 5 și 2 · 3 = 6
=x(x+2)+3(x+2)= x(x + 2) + 3(x + 2)
=(x+2)(x+3)= (x + 2)(x + 3)

Uneori ajută și scrierea termenului liber ca sumă:

x2+x−2x^2 + x - 2
=(x2−1)+(x−1)= (x^2 - 1) + (x - 1)
=(x−1)(x+1)+(x−1)= (x - 1)(x + 1) + (x - 1)
=(x−1)(x+2)= (x - 1)(x + 2)

Procedeul este o aplicare a grupării și îl vei folosi din nou la ecuațiile de gradul al doilea.

Ce lecție să alegi

  • Începi descompunerile sau toți termenii au ceva în comun? Mergi la factor comun și grupare: factor comun numeric, literal și negativ, apoi gruparea termenilor.
  • Recunoști un pătrat sau o diferență de pătrate, ori ai de descompus complet o expresie mai lungă? Mergi la descompunerea cu formule de calcul prescurtat: diferența de pătrate, trinomul pătrat perfect și metodele combinate.
  • Nu mai știi formulele? Recapitulează-le în lecția Formule de calcul prescurtat. Formulele pentru cub și pătratul sumei a trei termeni sunt pe pagina extensiilor.

Ordinea care funcționează aproape mereu: întâi factorul comun, apoi o formulă, apoi gruparea, și continui până când niciun factor nu se mai descompune.

Lecțiile complete

Preferințe cookies

Alege ce stocare opțională permiți. Detalii în Politica de cookies.

Necesare

Mereu active

Păstrează în browserul tău alegerea făcută aici (stocare locală, nu cookie). Fără ea, bannerul ar apărea la fiecare vizită.

Analiză

Ne ajută să înțelegem cum este folosit site-ul (ce pagini sunt vizitate, de pe ce tip de dispozitiv), ca să îmbunătățim conținutul. Folosește Google Analytics, doar dacă îl activezi.

Conținut extern

Videoclipurile din lecții sunt furnizate de YouTube, iar unele previzualizări de documente de Google Drive. Încărcarea lor trimite furnizorului informații tehnice, precum adresa IP. Conținutul extern nu se încarcă până nu îl permiți.