Formule de matematică

161 formule

• Clasa a V-a

  Numere naturale›Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

  Distributivitatea înmulțirii față de adunare

  $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

  $a$

  factorul care se înmulțește cu paranteza

  $b, c$

  termenii din paranteză

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Numere naturale›Împărțirea cu rest a numerelor naturale

  Teorema împărțirii cu rest

  $$D = Î \cdot C + R, \qquad 0 \le R < Î$$

  $D$

  deîmpărțitul

  $Î$

  împărțitorul (diferit de 0)

  $C$

  câtul

  $R$

  restul, mai mic decât împărțitorul

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Numere naturale›Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte

  Produsul puterilor cu aceeași bază

  $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

  $a$

  baza puterii

  $m, n$

  exponenții (numere naturale)

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Numere naturale›Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte

  Câtul puterilor cu aceeași bază

  $$a^m : a^n = a^{m-n}$$

  $a$

  baza puterii (nenulă)

  $m, n$

  exponenții, cu m ≥ n

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Numere naturale›Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte

  Puterea unei puteri

  $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

  $a$

  baza puterii

  $m, n$

  exponenții (numere naturale)

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Numere naturale›Adunarea și scăderea numerelor naturale

  Suma primelor n numere naturale nenule

  $$1 + 2 + 3 + \dots + n = n \cdot (n + 1) : 2$$

  $n$

  ultimul număr din sumă

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Numere naturale›Ordinea efectuării operațiilor și parantezele

  Ordinea operațiilor

  $$\text{paranteze}\to\text{puteri}\to(\cdot,:)\to(+,-)$$

  Operațiile de același ordin se efectuează de la stânga la dreapta.

  $a,b$

  numerele din expresie

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Numere naturale›Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte

  Puterea unui produs

  $$(ab)^n=a^nb^n$$

  Exponentul se aplică fiecărui factor.

  $a,b$

  baze

  $n$

  exponent natural

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Numere naturale›Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte

  Puterea unui cât

  $$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$

  Numitorul b trebuie să fie nenul.

  $a$

  numărător

  $b$

  numitor nenul

  $n$

  exponent natural

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Divizibilitate›Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9

  Criteriul de divizibilitate cu 2

  $$2\mid n\iff\text{ultima cifră a lui }n\text{ este pară}$$

  Ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8.

  $n$

  număr natural

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Divizibilitate›Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9

  Criteriul de divizibilitate cu 3

  $$3\mid n\iff3\mid S(n)$$

  Suma cifrelor trebuie să fie divizibilă cu 3.

  $S(n)$

  suma cifrelor lui n

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Divizibilitate›Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9

  Criteriul de divizibilitate cu 5

  $$5\mid n\iff\text{ultima cifră este }0\text{ sau }5$$

  Verifică doar ultima cifră.

  $n$

  număr natural

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Divizibilitate›Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9

  Criteriul de divizibilitate cu 9

  $$9\mid n\iff9\mid S(n)$$

  Suma cifrelor trebuie să fie divizibilă cu 9.

  $S(n)$

  suma cifrelor lui n

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Divizibilitate›Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9

  Criteriul de divizibilitate cu 10

  $$10\mid n\iff\text{ultima cifră este }0$$

  Numărul trebuie să se termine cu 0.

  $n$

  număr natural

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

  Adunarea fracțiilor cu același numitor

  $$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}$$

  $a, c$

  numărătorii

  $b$

  numitorul comun (nenul)

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții ordinare›Înmulțirea, puterile și împărțirea fracțiilor ordinare

  Înmulțirea fracțiilor

  $$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$$

  $a, c$

  numărătorii

  $b, d$

  numitorii (nenuli)

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții ordinare›Înmulțirea, puterile și împărțirea fracțiilor ordinare

  Împărțirea fracțiilor

  $$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$$

  $a, c$

  numărătorii (c ≠ 0)

  $b, d$

  numitorii (nenuli)

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții ordinare›Fracție și procent dintr-un număr

  Procentul dintr-un număr

  $$p\% \text{ din } N = \dfrac{p}{100} \times N$$

  $p$

  procentul

  $N$

  numărul din care se calculează procentul

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

  Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

  $$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}$$

  Poți folosi și cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

  $a,c$

  numărătorii

  $b,d$

  numitorii, nenuli

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

  Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

  $$\frac ab-\frac cd=\frac{ad-bc}{bd}$$

  Nu scădea direct numitorii.

  $a,c$

  numărătorii

  $b,d$

  numitorii, nenuli

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții ordinare›Fracție și procent dintr-un număr

  Creșterea cu p procente

  $$N_{\mathrm{nou}}=N_{\mathrm{vechi}}\left(1+\frac p{100}\right)$$

  Procentul se calculează din valoarea inițială.

  $p$

  procentul de creștere

  $N$

  valoarea inițială

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții ordinare›Fracție și procent dintr-un număr

  Scăderea cu p procente

  $$N_{\mathrm{nou}}=N_{\mathrm{vechi}}\left(1-\frac p{100}\right)$$

  Pentru o reducere obișnuită, 0 ≤ p ≤ 100.

  $p$

  procentul de scădere

  $N$

  valoarea inițială

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții ordinare›Fracție și procent dintr-un număr

  Aflarea întregului din procent

  $$p\%\text{ din }x=a\quad\Rightarrow\quad x=\frac{100a}{p}$$

  Procentul p trebuie să fie diferit de zero.

  $p$

  procent nenul

  $a$

  partea cunoscută

  $x$

  întregul

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții zecimale›Fracții zecimale periodice

  Fracție zecimală periodică simplă

  $$0,(3)=\frac{3}{9}=\frac13$$

  Aceasta este o transformare exemplificată pentru perioada 3, nu formula generală pentru orice fracție periodică.

  $0,(3)$

  zecimalul cu perioada 3

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Fracții zecimale›Fracții zecimale periodice

  Fracție zecimală periodică mixtă

  $$0,1(6)=\frac{16-1}{90}=\frac16$$

  La numitor apar câte 9 pentru cifrele perioadei și câte 0 pentru cifrele neperiodice.

  $0,1(6)$

  o cifră neperiodică și o cifră periodică

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Organizarea datelor›Media unui set de date

  Media aritmetică

  $$m=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$

  Aduni toate valorile și împarți la numărul lor.

  $x_i$

  valorile din set

  $n$

  numărul valorilor

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Măsurare›Unități de măsură pentru lungime. Perimetre

  Perimetrul dreptunghiului

  $$P = 2 \cdot (L + l)$$

  $P$

  perimetrul

  $L$

  lungimea

  $l$

  lățimea

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Măsurare›Unități de măsură pentru arie. Aria pătratului și a dreptunghiului

  Aria dreptunghiului

  $$A = L \cdot l$$

  $A$

  aria

  $L$

  lungimea

  $l$

  lățimea

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

  Volumul paralelipipedului dreptunghic

  $$V = L \cdot l \cdot h$$

  $V$

  volumul

  $L$

  lungimea

  $l$

  lățimea

  $h$

  înălțimea

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Măsurare›Unități de măsură pentru lungime. Perimetre

  Transformarea unităților de lungime

  $$1\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{dm}=100\,\mathrm{cm}=1000\,\mathrm{mm}$$

  Fiecare treaptă metrică schimbă valoarea cu factorul 10.

  $m,dm,cm,mm$

  unități de lungime

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Măsurare›Unități de măsură pentru arie. Aria pătratului și a dreptunghiului

  Transformarea unităților de arie

  $$1\,\mathrm{m}^2=100\,\mathrm{dm}^2=10\,000\,\mathrm{cm}^2$$

  La fiecare treaptă între unități vecine, factorul este 100.

  $m²,dm²,cm²$

  unități de arie

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

  Transformarea unităților de volum

  $$1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm{dm}^3=10^6\,\mathrm{cm}^3$$

  La fiecare treaptă între unități vecine, factorul este 1000.

  $m³,dm³,cm³$

  unități de volum

  Vezi lecția
• Clasa a V-a

  Măsurare›Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

  Litri și decimetri cubi

  $$1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm{L},\quad 1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm{L}$$

  Capacitatea și volumul folosesc unități echivalente în aceste conversii.

  $L$

  litru

  $dm³,m³$

  unități de volum

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

  Reuniunea mulțimilor

  $$A\cup B=\{x\mid x\in A\ \text{sau}\ x\in B\}$$

  Un element comun se scrie o singură dată în reuniune.

  $A,B$

  mulțimile considerate

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

  Intersecția mulțimilor

  $$A\cap B=\{x\mid x\in A\ \text{și}\ x\in B\}$$

  Dacă nu au elemente comune, intersecția este mulțimea vidă.

  $A,B$

  mulțimile considerate

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Mulțimi›Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

  Diferența a două mulțimi

  $$A\setminus B=\{x\in A\mid x\notin B\}$$

  În general, A\B este diferită de B\A.

  $A,B$

  mulțimi

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Mulțimi›Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

  Cardinalul unei mulțimi finite

  $$\operatorname{card}(\{a,b,c\})=3$$

  Cardinalul este numărul de elemente distincte ale mulțimii.

  $a,b,c$

  elemente distincte

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Mulțimi›Relații între mulțimi

  Relația de incluziune

  $$A\subseteq B\iff\forall x\in A,\ x\in B$$

  Prin ⊆ se admite și egalitatea A = B.

  $A,B$

  mulțimi

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Divizibilitatea numerelor naturale›Cel mai mic multiplu comun

  Relația dintre CMMDC și CMMMC

  $$\operatorname{cmmdc}(a,b)\cdot\operatorname{cmmmc}(a,b)=a\cdot b$$

  Produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al două numere naturale nenule este egal cu produsul celor două numere. Condiție: a și b sunt numere naturale nenule.

  $a,b$

  numere naturale nenule

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Rapoarte și proporții›Rapoarte. Proporții. Proprietatea fundamentală

  Proprietatea fundamentală a proporției

  $$\frac ab=\frac cd\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc$$

  Numitorii b și d trebuie să fie nenuli.

  $a,b,c,d$

  termenii proporției

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

  Mărimi direct proporționale

  $$y=kx$$

  Raportul y/x este constant pentru x nenul.

  $k$

  constanta de proporționalitate

  $x,y$

  valorile celor două mărimi

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Proporționalitate›Mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale

  Mărimi invers proporționale

  $$xy=k$$

  Când o mărime crește, cealaltă scade proporțional, pentru valori pozitive.

  $k$

  produsul constant

  $x,y$

  valorile celor două mărimi

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Organizarea datelor și probabilități›Probabilitate elementară

  Probabilitatea unui eveniment

  $$P(A) = \dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$$

  $P(A)$

  probabilitatea evenimentului A

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Numere întregi›Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

  Regula semnelor la înmulțire

  $$(+)(+)=(+),\quad(-)(-)=(+),\quad(+)(-)=(-)$$

  Factori cu semne egale dau produs pozitiv, iar cu semne diferite dau produs negativ.

  $a,b$

  factori întregi

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

  Unghiuri complementare

  $$m_1 + m_2 = 90°$$

  $m_1, m_2$

  măsurile celor două unghiuri

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

  Unghiuri suplementare

  $$m_1 + m_2 = 180°$$

  $m_1, m_2$

  măsurile celor două unghiuri

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

  Suma unghiurilor în jurul unui punct

  $$\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=360^\circ$$

  Unghiurile trebuie să acopere o rotație completă, fără suprapuneri.

  $α₁, ..., αₙ$

  unghiurile consecutive din jurul punctului

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Unghiuri›Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

  Unghiurile opuse la vârf

  $$m(\angle AOC)=m(\angle BOD)$$

  Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

  $AOC,BOD$

  două unghiuri opuse la vârf

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Unghiuri›Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

  Bisectoarea unui unghi

  $$m(\angle AOB)=m(\angle BOC)=\frac{m(\angle AOC)}2$$

  Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente.

  $OB$

  semidreapta bisectoare a unghiului AOC

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Drepte paralele și perpendiculare›Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

  Unghiuri alterne interne la drepte paralele

  $$a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta$$

  Unghiurile trebuie să fie alterne interne, nu oricare două unghiuri.

  $a,b$

  drepte paralele

  $α,β$

  unghiuri alterne interne formate de aceeași secantă

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

  Proprietatea mediatoarei unui segment

  $$P\in\operatorname{med}(AB)\Rightarrow PA=PB$$

  Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul său.

  $A,B$

  capetele segmentului

  $P$

  punct de pe mediatoare

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Cercul›Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

  Diametrul și raza cercului

  $$d = 2r$$

  $d$

  diametrul cercului

  $r$

  raza cercului

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Triunghiul›Triunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

  Suma unghiurilor unui triunghi

  $$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$

  $\angle A, \angle B, \angle C$

  unghiurile triunghiului ABC

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Triunghiul›Triunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

  Unghiul exterior al unui triunghi

  $$\angle ACD = \angle A + \angle B$$

  $\angle ACD$

  unghiul exterior de vârf C

  $\angle A, \angle B$

  unghiurile interioare neadiacente cu el

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

  Centrul de greutate al triunghiului

  $$AG=\frac23 AM,\quad GM=\frac13 AM$$

  G împarte mediana în raportul 2:1 începând de la vârf.

  $AM$

  mediana din vârful A

  $G$

  centrul de greutate

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Congruența triunghiurilor›Criteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

  Criteriul LLL de congruență

  $$AB=DE,\ BC=EF,\ AC=DF\Rightarrow\triangle ABC\cong\triangle DEF$$

  Laturile trebuie comparate în ordinea corespunzătoare.

  $ABC,DEF$

  triunghiuri cu vârfuri corespondente

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Teorema lui Pitagora

  Teorema lui Pitagora

  $$a^2 + b^2 = c^2$$

  $a, b$

  catetele triunghiului dreptunghic

  $c$

  ipotenuza

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

  Cateta opusă unghiului de 30°

  $$a=\frac c2$$

  Valabil numai într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°.

  $a$

  cateta opusă unghiului de 30°

  $c$

  ipotenuza

  Vezi lecția
• Clasa a VI-a

  Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

  Unghiurile triunghiului echilateral

  $$\alpha=\beta=\gamma=60^\circ$$

  Toate laturile și toate unghiurile sunt congruente.

  $α,β,γ$

  unghiurile interioare

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

  Produsul radicalilor

  $$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}, \quad a \ge 0,\; b \ge 0$$

  $a, b$

  numere reale pozitive sau 0

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

  Scoaterea factorilor de sub radical

  $$\sqrt{a^2 b} = \lvert a\rvert\sqrt{b}, \quad b \ge 0$$

  $a$

  factorul care se scoate de sub radical

  $b$

  numărul rămas sub radical

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Numere reale›Modulul unui număr real. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axă

  Modulul unui număr real

  $$\lvert x\rvert = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0 \\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}$$

  $x$

  un număr real

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Numere reale›Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

  Radicalul pătratului unui număr real

  $$\sqrt{a^2}=|a|$$

  Nu scrie a fără modul dacă a poate fi negativ.

  $a$

  număr real

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Numere reale›Reguli de calcul cu radicali: produsul și câtul radicalilor

  Radicalul unui cât

  $$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$$

  Condiții: a ≥ 0 și b > 0.

  $a$

  număr real nenegativ

  $b$

  număr real strict pozitiv

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

  Puterea cu exponent întreg negativ

  $$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad (a \ne 0)$$

  $a$

  baza (nenulă)

  $n$

  exponentul, număr natural

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Calcul cu numere reale›Raționalizarea numitorului de forma a√b

  Raționalizarea numitorului de forma a√b

  $$\begin{aligned}\dfrac{m}{a\sqrt b} &= \dfrac{m\cdot\sqrt b}{a\sqrt b\cdot\sqrt b} = \dfrac{m\sqrt b}{ab} \\ &\qquad (a\ne0,\ b>0)\end{aligned}$$

  $m$

  numărătorul

  $a$

  factorul din fața radicalului (nenul)

  $b$

  numărul de sub radical (pozitiv)

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

  Media geometrică a două numere

  $$G = \sqrt{ab} \qquad (a\ge0,\ b\ge0)$$

  $G$

  media geometrică

  $a, b$

  cele două numere nenegative

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Calcul cu numere reale›Ecuația x² = a în mulțimea numerelor reale

  Ecuația x² = a, cu a > 0

  $$\begin{aligned}x^2=a \ (a>0) \quad&\Longrightarrow\quad x=\sqrt a \\ &\hphantom{\Longrightarrow\quad}\text{sau} \ x=-\sqrt a\end{aligned}$$

  $x$

  necunoscuta

  $a$

  un număr real pozitiv

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Calcul cu numere reale›Media aritmetică ponderată și media geometrică

  Media aritmetică ponderată

  $$m=\frac{x_1p_1+\cdots+x_np_n}{p_1+\cdots+p_n}$$

  Suma ponderilor trebuie să fie nenulă.

  $x_i$

  valorile

  $p_i$

  ponderi pozitive sau frecvențe

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Calcul cu numere reale›Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

  Puterea cu exponentul zero

  $$a^0=1,\qquad a\ne0$$

  Nu se aplică lui 0⁰ în această regulă.

  $a$

  bază nenulă

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Ecuații de gradul I›Ecuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme

  Ecuația de gradul I

  $$ax+b=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac ba$$

  Formula se aplică doar dacă a ≠ 0.

  $a,b$

  coeficienți reali

  $x$

  necunoscuta

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

  Metoda substituției pentru sisteme

  $$\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$$

  Exprimi o necunoscută din prima ecuație și o înlocuiești în a doua.

  $x,y$

  necunoscute

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Sisteme de ecuații liniare›Sisteme de două ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

  Metoda reducerii pentru sisteme

  $$\begin{cases}2x+y=8\\x-y=1\end{cases}\Longrightarrow 3x=9$$

  Adună ecuațiile după aducerea coeficienților unei necunoscute la valori opuse.

  $x,y$

  necunoscute

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Sistemul de axe›Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

  Distanța dintre două puncte din plan

  $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

  $AB$

  distanța dintre punctele A și B

  $x_A, y_A$

  coordonatele punctului A

  $x_B, y_B$

  coordonatele punctului B

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Patrulatere›Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

  Linia mijlocie a trapezului

  $$MN = \dfrac{AB + DC}{2}$$

  $MN$

  linia mijlocie

  $AB, DC$

  bazele trapezului

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

  Suma unghiurilor unui patrulater convex

  $$\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$$

  Valabil pentru un patrulater convex.

  $α,β,γ,δ$

  unghiuri interioare

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

  Laturile opuse ale paralelogramului

  $$AB=CD,\quad BC=AD$$

  Laturile opuse sunt paralele și congruente.

  $ABCD$

  paralelogram cu vârfuri în ordine

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

  Diagonalele dreptunghiului

  $$AC=BD$$

  Diagonalele dreptunghiului sunt congruente și se înjumătățesc.

  $ABCD$

  dreptunghi

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

  Diagonalele rombului

  $$AC\perp BD$$

  Diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc.

  $ABCD$

  romb

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

  Aria triunghiului

  $$A = \dfrac{b \cdot h}{2}$$

  $A$

  aria

  $b$

  o latură a triunghiului (baza)

  $h$

  înălțimea corespunzătoare bazei

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

  Aria paralelogramului

  $$A = b \cdot h$$

  $A$

  aria

  $b$

  o latură (baza)

  $h$

  înălțimea corespunzătoare bazei

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

  Aria trapezului

  $$A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$$

  $A$

  aria

  $B$

  baza mare

  $b$

  baza mică

  $h$

  înălțimea

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

  Aria rombului din diagonale

  $$A=\frac{d_1d_2}{2}$$

  Diagonalele rombului sunt perpendiculare.

  $d_1,d_2$

  diagonalele rombului

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

  Aria triunghiului echilateral

  $$A=\frac{l^2\sqrt3}{4}$$

  Se aplică doar unui triunghi echilateral.

  $l$

  latura triunghiului

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

  Aria pătratului

  $$A=l^2$$

  Aria se exprimă în unități pătrate.

  $l$

  latura pătratului

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Perimetre și arii›Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

  Perimetrul pătratului

  $$P=4l$$

  Perimetrul se exprimă în unități de lungime.

  $l$

  latura pătratului

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

  Lungimea cercului

  $$L = 2\pi R = \pi d$$

  $L$

  lungimea cercului

  $R$

  raza cercului

  $d$

  diametrul cercului

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

  Aria discului

  $$A = \pi R^2$$

  $A$

  aria discului

  $R$

  raza cercului

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

  Unghiul înscris în cerc

  $$m(\angle ABC)=\frac12 m(\widehat{AC})$$

  Măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului interceptat.

  $ABC$

  unghi înscris

  $AC$

  arcul interceptat care nu conține B

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

  Unghiul înscris într-un semicerc

  $$m(\angle ABC)=90^\circ$$

  Unghiul înscris care subîntinde un diametru este drept.

  $AC$

  diametru

  $B$

  punct de pe cerc, diferit de A și C

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

  Tangenta la cerc și raza

  $$OT\perp t$$

  Raza la punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă.

  $O$

  centrul cercului

  $T$

  punct de tangență

  $t$

  tangenta în T

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Cercul›Poligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

  Aria sectorului circular

  $$A_s=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2$$

  Sectorul reprezintă partea din disc corespunzătoare unghiului la centru.

  $α$

  unghiul la centru în grade

  $r$

  raza discului

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Segmente proporționale și teorema lui Thales›Teorema lui Thales și reciproca ei

  Teorema lui Thales

  $$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$$

  $D, E$

  punctele de pe laturile AB și AC, cu DE paralelă cu BC

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Asemănarea triunghiurilor›Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

  Raportul laturilor triunghiurilor asemenea

  $$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k$$

  Comparația se face între laturi omoloage.

  $k$

  raportul de asemănare

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Asemănarea triunghiurilor›Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

  Raportul ariilor triunghiurilor asemenea

  $$\frac{A_1}{A_2}=k^2$$

  Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare.

  $k$

  raportul laturilor omoloage

  $A₁,A₂$

  ariile triunghiurilor

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

  Teorema înălțimii

  $$AH^2 = BH \cdot HC$$

  $AH$

  înălțimea din vârful unghiului drept

  $BH, HC$

  proiecțiile catetelor pe ipotenuză

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Relații metrice în triunghiul dreptunghic›Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

  Teorema catetei

  $$\begin{aligned}AB^2 &= BC \cdot BH \quad\text{și}\\ AC^2 &= BC \cdot HC\end{aligned}$$

  $AB, AC$

  catetele

  $BC$

  ipotenuza

  $BH, HC$

  proiecțiile catetelor pe ipotenuză

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

  Sinus și cosinus într-un triunghi dreptunghic

  $$\sin\alpha = \dfrac{o}{i} \qquad \cos\alpha = \dfrac{a}{i}$$

  $\alpha$

  un unghi ascuțit al triunghiului

  $o$

  cateta opusă unghiului

  $a$

  cateta alăturată unghiului

  $i$

  ipotenuza

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

  Tangenta și cotangenta într-un triunghi dreptunghic

  $$\text{tg}\,\alpha = \dfrac{o}{a} \qquad \text{ctg}\,\alpha = \dfrac{a}{o}$$

  $\alpha$

  un unghi ascuțit al triunghiului

  $o$

  cateta opusă unghiului

  $a$

  cateta alăturată unghiului

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

  Valorile sinusului pentru unghiuri speciale

  $$\sin30^\circ=\frac12,\ \sin45^\circ=\frac{\sqrt2}2,\ \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}2$$

  Nu confunda valorile sinusului cu cele ale cosinusului.

  $α$

  unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

  Valorile cosinusului pentru unghiuri speciale

  $$\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}2,\ \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}2,\ \cos60^\circ=\frac12$$

  Cosinusul este raportul catetei alăturate la ipotenuză.

  $α$

  unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

  Vezi lecția
• Clasa a VII-a

  Trigonometrie în triunghiul dreptunghic›Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

  Valorile tangentei pentru unghiuri speciale

  $$\operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt3}3,\ \operatorname{tg}45^\circ=1,\ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$$

  Tangenta este raportul catetei opuse la cateta alăturată.

  $α$

  unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

  Interval închis

  $$[a,b]=\{x\in\mathbb R\mid a\le x\le b\}$$

  Parantezele pătrate arată că ambele capete aparțin intervalului.

  $a,b$

  capetele intervalului, cu a ≤ b

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

  Interval deschis

  $$(a,b)=\{x\in\mathbb R\mid a<x<b\}$$

  Capetele nu aparțin intervalului; la infinit se folosește mereu paranteză rotundă.

  $a,b$

  capetele intervalului, cu a < b

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

  Schimbarea sensului inegalității

  $$a<b,\ c<0\quad\Longrightarrow\quad ac>bc$$

  La înmulțire sau împărțire cu un număr negativ, semnul inegalității se inversează.

  $a,b$

  numere reale

  $c$

  număr negativ

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

  Interval semideschis

  $$[a,b)=\{x\in\mathbb R\mid a\le x<b\}$$

  Capătul a este inclus, b este exclus; (a,b] inversează situația.

  $a,b$

  capetele, cu a < b

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Intervale și inecuații›Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

  Interval nemărginit

  $$[a,+\infty)=\{x\in\mathbb R\mid x\ge a\}$$

  La ±∞ se folosesc numai paranteze rotunde.

  $a$

  limita inferioară

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Intervale și inecuații›Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

  Intersecția intervalelor

  $$[1,4]\cap[3,6]=[3,4]$$

  Se păstrează doar numerele comune ambelor intervale.

  $A,B$

  intervale

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Intervale și inecuații›Inecuații de gradul I în mulțimea numerelor reale

  Scrierea soluției inecuației ca interval

  $$x\ge 2\iff x\in[2,+\infty)$$

  La infinit se folosește întotdeauna paranteză rotundă.

  $x$

  necunoscuta reală

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

  Pătratul sumei

  $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

  $a, b$

  numere reale sau expresii

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

  Pătratul diferenței

  $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

  $a, b$

  numere reale sau expresii

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Calcul algebric›Formule de calcul prescurtat

  Produsul sumei cu diferența

  $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$

  $a, b$

  numere reale sau expresii

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

  Scoaterea factorului comun

  $$ab+ac=a(b+c)$$

  Verifică prin dezvoltarea parantezei.

  $a$

  factor comun

  $b,c$

  termeni rămași în paranteză

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

  Trinom pătrat perfect

  $$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$

  Termenul din mijloc trebuie să fie exact ±2ab.

  $a,b$

  numere reale sau expresii

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Calcul algebric›Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

  Reducerea termenilor asemenea

  $$3x^2- x^2=2x^2$$

  Se adună/scad coeficienții numai când partea literală este identică.

  $x$

  necunoscuta

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Calcul algebric›Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

  Produsul a două sume

  $$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

  Fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua.

  $a,b,c,d$

  numere reale sau expresii

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

  Condiția de existență a fracției algebrice

  $$\frac{P(x)}{Q(x)},\qquad Q(x)\ne0$$

  Numitorul nu poate fi zero; restricția rămâne și după simplificare.

  $P,Q$

  expresii algebrice

  $x$

  necunoscuta

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

  Adunarea fracțiilor algebrice

  $$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}$$

  Dacă numitorii conțin expresii, verifică întâi restricțiile.

  $a,c$

  numărători

  $b,d$

  numitori nenuli

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

  Înmulțirea fracțiilor algebrice

  $$\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}$$

  Descompunerea în factori poate permite simplificarea înainte de înmulțire.

  $a,c$

  numărători

  $b,d$

  numitori nenuli

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

  Proprietatea produsului nul

  $$ab=0\quad\Longleftrightarrow\quad a=0\ \text{sau}\ b=0$$

  Foarte utilă după descompunerea în factori.

  $a,b$

  numere reale sau expresii

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

  Ecuație de gradul al II-lea incompletă

  $$x^2=a,\quad a>0\Longrightarrow x=\pm\sqrt a$$

  Pentru a=0 soluția este x=0; pentru a<0 nu există soluții reale.

  $x$

  necunoscuta

  $a$

  număr real pozitiv

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

  Ecuație de gradul al II-lea prin factor comun

  $$x^2-4x=0\iff x(x-4)=0$$

  După factorizare, aplică proprietatea produsului nul.

  $x$

  necunoscuta

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

  Funcția liniară

  $$f(x)=ax+b$$

  Graficul pe ℝ este o dreaptă; dacă a = 0, este orizontală.

  $a$

  panta graficului

  $b$

  ordonata la origine

  $x$

  argumentul funcției

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

  Intersecția graficului liniar cu Ox

  $$f(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac ba$$

  Valabil pentru a ≠ 0; punctul de intersecție este (-b/a, 0).

  $a,b$

  coeficienții funcției f(x)=ax+b

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

  Apartenența unui punct la graficul funcției

  $$A(u,v)\in G_f\iff f(u)=v$$

  u trebuie să aparțină domeniului funcției.

  $u,v$

  coordonatele punctului

  $f$

  funcția

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

  Intersecția funcției liniare cu Oy

  $$f(x)=ax+b\Longrightarrow (0,b)\in G_f$$

  Valabil dacă 0 aparține domeniului; graficul pe ℝ conține (0,b).

  $a,b$

  coeficienți reali

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

  Creșterea și descreșterea funcției liniare

  $$a>0\Rightarrow f\text{ crescătoare};\quad a<0\Rightarrow f\text{ descrescătoare}$$

  Pe un interval sau pe ℝ, dacă a=0 funcția este constantă.

  $a$

  coeficientul lui x

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

  Frecvența relativă

  $$f_r=\frac{n_i}{n}$$

  Pentru procent, înmulțește frecvența relativă cu 100.

  $n_i$

  numărul aparițiilor unei valori

  $n$

  numărul total al observațiilor

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

  Amplitudinea unui set de date

  $$A=x_{\max}-x_{\min}$$

  Nu confunda amplitudinea cu media.

  $x_max$

  valoarea maximă

  $x_min$

  valoarea minimă

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

  Media aritmetică din tabel de frecvențe

  $$\overline{x}=\frac{x_1n_1+\cdots+x_kn_k}{n_1+\cdots+n_k}$$

  Suma frecvențelor este numărul total al observațiilor.

  $x_i$

  valorile distincte

  $n_i$

  frecvențe absolute

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

  Mediana unui set cu număr impar de valori

  $$Me=x_{\frac{n+1}{2}},\quad n\text{ impar}$$

  Ordonează valorile înainte de a găsi mediana.

  $x_i$

  valorile ordonate crescător

  $n$

  numărul observațiilor

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

  Mediana unui set cu număr par de valori

  $$Me=\frac{x_{\frac n2}+x_{\frac n2+1}}2,\quad n\text{ par}$$

  Este media celor două valori centrale, după ordonare.

  $x_i$

  valorile ordonate crescător

  $n$

  numărul observațiilor

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

  Modul unui set de date

  $$Mo=\text{valoarea cu frecvența maximă}$$

  Se ordonează frecvențele: valoarea cu frecvență maximă este modul. Pot exista mai multe valori modale; dacă toate valorile au aceeași frecvență, nu există un mod unic.

  $Mo$

  modul (valoarea modală)

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

  Frecvența absolută a unei valori

  $$n_i=\#\{j\mid x_j=x_i\}$$

  Frecvența absolută este un număr natural.

  $n_i$

  numărul aparițiilor valorii x_i

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

  Criteriu de paralelism dreaptă–plan

  $$d\parallel a,\ a\subset\alpha,\ d\not\subset\alpha\Rightarrow d\parallel\alpha$$

  Pentru concluzie, dreapta d nu trebuie să se afle în plan.

  $d,a$

  drepte

  $α$

  plan

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

  Criteriu de perpendicularitate dreaptă–plan

  $$d\perp a,\ d\perp b\Rightarrow d\perp\alpha$$

  Condiții esențiale: a și b sunt două drepte concurente din planul α, iar d le intersectează și este perpendiculară pe ambele în punctul lor comun. Fără aceste condiții, concluzia nu rezultă.

  $a,b$

  drepte concurente incluse în planul α

  $d$

  dreaptă ce le intersectează în punctul lor comun

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

  Diagonala cubului

  $$d=a\sqrt3$$

  Nu confunda cu diagonala unei fețe, egală cu a√2.

  $a$

  muchia cubului

  $d$

  diagonala spațială

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

  Diagonala paralelipipedului dreptunghic

  $$d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$$

  Formulă pentru diagonala corpului, nu a unei fețe.

  $L,l,h$

  lungimea, lățimea și înălțimea

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

  Aria totală a cubului

  $$A_t=6a^2$$

  Cubul are șase fețe pătrate congruente.

  $a$

  muchia cubului

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

  Volumul cubului

  $$V=a^3$$

  Volumul se măsoară în unități cubice.

  $a$

  muchia cubului

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

  Volumul prismei

  $$V=A_b\cdot h$$

  Valabil pentru prisma dreaptă prezentată în lecție.

  $A_b$

  aria bazei

  $h$

  înălțimea prismei

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

  Volumul piramidei

  $$V=\frac{A_b h}{3}$$

  Apare împărțirea la 3, spre deosebire de prismă.

  $A_b$

  aria bazei

  $h$

  înălțimea piramidei

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

  Aria laterală a prismei drepte

  $$A_l=P_b\cdot h$$

  Valabilă pentru prisma dreaptă.

  $P_b$

  perimetrul bazei

  $h$

  înălțimea

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

  Aria laterală a piramidei regulate

  $$A_l=\frac{P_b a_p}{2}$$

  Valabilă pentru o piramidă regulată.

  $P_b$

  perimetrul bazei

  $a_p$

  apotema piramidei

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

  Aria totală a paralelipipedului dreptunghic

  $$A_t=2(Ll+Lh+lh)$$

  Toate dimensiunile se exprimă în aceeași unitate.

  $L,l,h$

  lungimea, lățimea, înălțimea

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

  Volumul paralelipipedului dreptunghic

  $$V=L\cdot l\cdot h$$

  Volumul se exprimă în unități cubice.

  $L,l,h$

  cele trei dimensiuni

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

  Aria totală a prismei drepte

  $$A_t=A_l+2A_b$$

  Prisma are două baze congruente.

  $A_l$

  aria laterală

  $A_b$

  aria bazei

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

  Aria totală a piramidei regulate

  $$A_t=A_l+A_b$$

  Piramida are o singură bază.

  $A_l$

  aria laterală

  $A_b$

  aria bazei

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

  Apotema piramidei regulate

  $$a_p^2=h^2+r_b^2$$

  Se aplică teorema lui Pitagora în secțiunea ce conține înălțimea și mijlocul unei laturi a bazei.

  $a_p$

  apotema piramidei

  $h$

  înălțimea

  $r_b$

  apotema bazei regulate

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

  Volumul trunchiului de piramidă

  $$V=\frac h3\left(B+b+\sqrt{Bb}\right)$$

  Bazele sunt poligoane asemenea, în plane paralele.

  $B$

  aria bazei mari

  $b$

  aria bazei mici

  $h$

  înălțimea trunchiului

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

  Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată

  $$A_l=\frac{(P+p)a_t}{2}$$

  Formula folosește apotema trunchiului de piramidă regulată.

  $P$

  perimetrul bazei mari

  $p$

  perimetrul bazei mici

  $a_t$

  apotema trunchiului

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

  Volumul cilindrului

  $$V = A_b \cdot h = \pi r^2 h$$

  $V$

  volumul

  $A_b$

  aria bazei

  $r$

  raza bazei

  $h$

  înălțimea

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

  Aria laterală și aria totală a cilindrului

  $$A_l = 2\pi r h,\qquad A_t = 2\pi r(h + r)$$

  $A_l$

  aria laterală

  $A_t$

  aria totală

  $r$

  raza bazei

  $h$

  înălțimea

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

  Volumul conului circular drept

  $$V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$$

  $V$

  volumul

  $A_b$

  aria bazei

  $r$

  raza bazei

  $h$

  înălțimea

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

  Aria laterală și aria totală a conului

  $$A_l = \pi r g,\qquad A_t = \pi r(g + r)$$

  $A_l$

  aria laterală

  $A_t$

  aria totală

  $r$

  raza bazei

  $g$

  generatoarea

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

  Aria sferei

  $$A = 4\pi r^2$$

  $A$

  aria sferei

  $r$

  raza sferei

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

  Volumul corpului sferic

  $$V = \dfrac{4\pi r^3}{3}$$

  $V$

  volumul

  $r$

  raza sferei

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

  Generatoarea conului circular drept

  $$g^2=r^2+h^2$$

  Teorema lui Pitagora se aplică în secțiunea axială.

  $g$

  generatoarea

  $r$

  raza bazei

  $h$

  înălțimea

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

  Aria laterală a trunchiului de con circular drept

  $$A_l=\pi(R+r)g$$

  R>r≥0; formula ariei totale adaugă ariile celor două baze.

  $R$

  raza bazei mari

  $r$

  raza bazei mici

  $g$

  generatoarea trunchiului

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

  Aria totală a trunchiului de con

  $$A_t=\pi(R+r)g+\pi R^2+\pi r^2$$

  Aria totală include aria laterală și ambele baze.

  $R,r$

  razele bazelor

  $g$

  generatoarea

  Vezi lecția
• Clasa a VIII-a

  Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

  Volumul trunchiului de con

  $$V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$$

  Folosește înălțimea perpendiculară pe baze, nu generatoarea.

  $R$

  raza bazei mari

  $r$

  raza bazei mici

  $h$

  înălțimea

  Vezi lecția