Lecția 2 din 2 · Fracții algebrice

Operații cu fracții algebrice

Operațiile cu fracții algebrice, inclusiv ridicarea la putere, urmează aceleași reguli ca operațiile cu fracții numerice. Diferența este că numitorii conțin litere, așa că îi descompui în factori și urmărești de la început ce valori sunt interzise.

~ 28 min de citit

Ce vei învăța

Aduni și scazi fracții algebrice, cu același numitor sau aducându-le la un numitor comun.
Înmulțești fracții algebrice, simplificând după descompunere.
Împarți fracții algebrice înmulțind cu inversa împărțitorului.
Ridici o fracție algebrică la o putere cu regula $\left(\dfrac{A}{B}\right)^n=\dfrac{A^n}{B^n}$ păstrând condiția $B \neq 0$
Calculezi expresii cu mai multe operații, respectând ordinea operațiilor.
Culegi condițiile de existență din expresia inițială și le păstrezi în rezultat.

Recomandat înainte: Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

Ideea de bază

Ca la fracțiile numerice, aduni fracții cu același numitor adunând numărătorii, iar la împărțire înmulțești cu inversa. Restricțiile se culeg din expresia inițială și însoțesc rezultatul până la capăt:

\dfrac{x^2}{x-2}-\dfrac{4}{x-2}

condiție:

x \neq 2

= \dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}

= x+2, \quad x \neq 2

Condițiile de existență, înainte de orice calcul

Înainte să efectuezi operațiile, scrii condițiile de existență pentru toată expresia, așa cum apare în enunț:

Descompui fiecare numitor în factori.
Ceri ca fiecare factor al fiecărui numitor să fie diferit de 0.
La împărțire, ceri în plus ca fracția cu care împarți să fie diferită de 0, adică și numărătorul ei să fie diferit de 0.
Păstrezi toate aceste condiții în răspunsul final, chiar dacă unii factori dispar prin simplificare.

Împărțitorul nu poate fi 0

În $\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D}$ ceri $B \neq 0$ $D \neq 0$ și, în plus, $C \neq 0$ După înmulțirea cu inversa, $C$ ajunge la numitor, deci condiția $C \neq 0$ este necesară.

Adunarea și scăderea cu același numitor

\dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{B}=\dfrac{A+C}{B} \qquad \dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{B}=\dfrac{A-C}{B}

Păstrezi numitorul și aduni sau scazi numărătorii. La scădere, pui numărătorul scăzut între paranteze, pentru că minusul se aplică întregului numărător.

\dfrac{5x+2}{x+1}-\dfrac{3x-4}{x+1}

condiție:

x \neq -1

= \dfrac{5x+2-(3x-4)}{x+1}

paranteza păstrează semnele

= \dfrac{5x+2-3x+4}{x+1}

= \dfrac{2x+6}{x+1}=\dfrac{2(x+3)}{x+1}, \quad x \neq -1

Adunarea și scăderea cu numitori diferiți

Aduci fracțiile la un numitor comun, prin amplificare, apoi lucrezi ca la același numitor. Numitorul comun cel mai simplu conține fiecare factor care apare în numitori, luat o singură dată, la puterea cea mai mare.

Descompui numitorii și scrii condițiile de existență.
Alegi numitorul comun din factorii obținuți.
Amplifici fiecare fracție cu factorii care îi lipsesc.
Aduni sau scazi numărătorii, apoi reduci termenii asemenea.
Descompui rezultatul și simplifici, dacă se poate.

\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{6}{x^2-9}

x^2-9=(x-3)(x+3)

deci

x \neq 3

x \neq -3

= \dfrac{x+3}{(x-3)(x+3)}-\dfrac{6}{(x-3)(x+3)}

prima fracție amplificată cu

x+3

= \dfrac{x+3-6}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)}

= \dfrac{1}{x+3}, \quad x \neq 3, \ x \neq -3

simplifici după operație

Numitorul comun, ales din factorii numitorilor.
Numitori	Numitor comun
$x$ și $x+1$	$x(x+1)$
$x-3$ și $x^2-9=(x-3)(x+3)$	$(x-3)(x+3)$
$2x$ și $x^2+x=x(x+1)$	$2x(x+1)$
$x-2$ și $(x-2)^2$	$(x-2)^2$

Înmulțirea

\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D}=\dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}

Înainte să înmulțești, descompui toți numărătorii și numitorii. Astfel vezi factorii comuni dintre un numărător și un numitor și îi simplifici, iar calculul rămâne scurt.

\dfrac{x^2-9}{4x} \cdot \dfrac{2x}{x+3}

condiții:

x \neq 0

x \neq -3

= \dfrac{(x-3)(x+3) \cdot 2x}{4x(x+3)}

= \dfrac{x-3}{2}, \quad x \neq 0, \ x \neq -3

simplifici prin

2x(x+3)

Împărțirea

\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}

Înmulțești prima fracție cu inversa celei de-a doua. Condițiile sunt $B \neq 0$ $D \neq 0$ și $C \neq 0$

\dfrac{x^2-4}{x^2+x} : \dfrac{x-2}{x}

x^2+x=x(x+1)

condiții:

x \neq 0

x \neq -1

și, din împărțitor,

x \neq 2

= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)} \cdot \dfrac{x}{x-2}

înmulțești cu inversa

= \dfrac{x+2}{x+1}, \quad x \neq -1, \ x \neq 0, \ x \neq 2

Condiția care se uită cel mai des

În exemplul de mai sus, $x=2$ nu anulează niciun numitor din enunț, dar anulează împărțitorul $\dfrac{x-2}{x}$ Împărțirea la 0 nu are sens, deci $x \neq 2$ face parte din condiții.

Ridicarea la putere

A ridica o fracție la o putere $n$ (număr natural, $n \geq 1$ înseamnă a o înmulți cu ea însăși de $n$ ori. De aici, la numărător și la numitor apare puterea:

\left(\dfrac{A}{B}\right)^n=\dfrac{A^n}{B^n}, \quad B \neq 0

\left(\dfrac{A}{B}\right)^2=\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{A}{B}

înmulțire cu ea însăși

=\dfrac{A \cdot A}{B \cdot B}=\dfrac{A^2}{B^2}

Puterea se aplică întregului numărător și întregului numitor, deci a fiecărui factor din ei. Dacă numărătorul sau numitorul este o sumă, o scrii între paranteze: $(x+1)^2$ nu $x+1^2$

Cele trei tipuri de calcul pe care le întâlnești:

Ridicarea la putere a unei fracții algebrice.
Tip	Exemplu	Rezultat și condiții
monom la monom	$\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2$	$\dfrac{4x^2}{9}$ numitorul $3$ nu cere nicio condiție
expresii cu litere	$\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2$	$\dfrac{(x+1)^2}{(x-2)^2}$ cu $x \neq 2$
putere și simplificare	$\left(\dfrac{2x^2}{3x}\right)^2$	$\dfrac{4x^2}{9}$ cu $x \neq 0$

\left(\dfrac{2x^2}{3x}\right)^2

condiție din expresia inițială:

x \neq 0

=\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2=\dfrac{4x^2}{9}

întâi simplifici baza prin

x

apoi ridici la putere

=\dfrac{2^2 \cdot (x^2)^2}{3^2 \cdot x^2}=\dfrac{4x^4}{9x^2}=\dfrac{4x^2}{9}

același rezultat dacă ridici întâi la putere și simplifici după

\text{rezultat: } \dfrac{4x^2}{9}, \quad x \neq 0

Condiția rămâne după simplificare

Rezultatul $\dfrac{4x^2}{9}$ ar exista și pentru $x=0$ dar expresia $\left(\dfrac{2x^2}{3x}\right)^2$ nu există pentru $x=0$ fiindcă numitorul $3x$ se anulează. Condiția $x \neq 0$ rămâne în răspuns, chiar dacă nu se mai vede în rezultat.

Semnul: puterea pară dă rezultat pozitiv, puterea impară păstrează semnul bazei. Parantezele contează:

\left(-\dfrac{x}{4}\right)^2=\dfrac{x^2}{16}

minusul este în bază, pătratul îl elimină

-\left(\dfrac{x}{4}\right)^2=-\dfrac{x^2}{16}

minusul este în afara puterii

\left(-\dfrac{x}{4}\right)^3=-\dfrac{x^3}{64}

putere impară: semnul se păstrează

Ordinea operațiilor

Ordinea este aceeași ca la numere: întâi parantezele, apoi ridicările la putere, apoi înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta, apoi adunările și scăderile. Condițiile de existență se scriu o singură dată, la început, pentru toată expresia.

\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1}

condiții:

x \neq 0

x \neq -1

= \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+1}

întâi înmulțirea

= \dfrac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}

= \dfrac{5x+2}{x(x+1)}, \quad x \neq 0, \ x \neq -1

La final

Descompui numărătorul rezultatului și verifici dacă se mai simplifică ceva cu numitorul. Apoi scrii rezultatul împreună cu toate condițiile din enunț.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: adunare cu același numitor

Calculează $\dfrac{2x+1}{x-3}+\dfrac{x-4}{x-3}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{2x+1+x-4}{x-3}

condiție:

x \neq 3

= \dfrac{3x-3}{x-3}=\dfrac{3(x-1)}{x-3}, \quad x \neq 3

Numărătorul are factorul $x-1$ numitorul are factorul $x-3$ deci fracția nu se mai simplifică.

Exemplul 2: scădere cu același numitor

Calculează $\dfrac{5x+2}{x+1}-\dfrac{3x-4}{x+1}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{5x+2-(3x-4)}{x+1}

condiție:

x \neq -1

= \dfrac{5x+2-3x+4}{x+1}

minusul schimbă ambele semne din paranteză

= \dfrac{2(x+3)}{x+1}, \quad x \neq -1

Exemplul 3: simplificare după scădere

Calculează $\dfrac{x^2}{x-2}-\dfrac{4}{x-2}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x^2-4}{x-2}

condiție:

x \neq 2

= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}

= x+2, \quad x \neq 2

Exemplul 4: numitori fără factori comuni

Calculează $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x+1}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{3(x+1)}{x(x+1)}+\dfrac{2x}{x(x+1)}

condiții:

x \neq 0

x \neq -1

= \dfrac{3x+3+2x}{x(x+1)}

= \dfrac{5x+3}{x(x+1)}, \quad x \neq 0, \ x \neq -1

Exemplul 5: numitor comun prin descompunere

Calculează $\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{6}{x^2-9}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x+3}{(x-3)(x+3)}-\dfrac{6}{(x-3)(x+3)}

condiții:

x \neq 3

x \neq -3

= \dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)}

= \dfrac{1}{x+3}, \quad x \neq 3, \ x \neq -3

Factorul $x-3$ a dispărut din rezultat, dar $x=3$ rămâne interzis, pentru că anulează numitorii din enunț.

Exemplul 6: scădere cu numitori diferiți

Calculează $\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x(x+2)-2(x-2)}{(x-2)(x+2)}

condiții:

x \neq 2

x \neq -2

= \dfrac{x^2+2x-2x+4}{(x-2)(x+2)}

-2(x-2)=-2x+4

= \dfrac{x^2+4}{x^2-4}, \quad x \neq 2, \ x \neq -2

$x^2+4$ nu se descompune, deci rezultatul nu se mai simplifică.

Exemplul 7: înmulțire cu simplificare

Calculează $\dfrac{x^2-9}{4x} \cdot \dfrac{2x}{x+3}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{(x-3)(x+3) \cdot 2x}{4x(x+3)}

condiții:

x \neq 0

x \neq -3

= \dfrac{x-3}{2}, \quad x \neq 0, \ x \neq -3

Exemplul 8: înmulțire cu rezultat 1

Calculează $\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \dfrac{x+1}{x-1}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} \cdot \dfrac{x+1}{x-1}

condiții:

x \neq -1

x \neq 1

= \dfrac{(x-1)(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)}

= 1, \quad x \neq -1, \ x \neq 1

Rezultatul este 1, dar doar pentru valorile admise. Pentru $x=1$ sau $x=-1$ expresia din enunț nu există.

Exemplul 9: împărțire, condiția din împărțitor

Calculează $\dfrac{x+2}{x-1} : \dfrac{x+2}{3}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x+2}{x-1} \cdot \dfrac{3}{x+2}

condiții:

x \neq 1

și, din împărțitor,

x \neq -2

= \dfrac{3}{x-1}, \quad x \neq 1, \ x \neq -2

Niciun numitor din enunț nu se anulează pentru $x=-2$ dar atunci împărțitorul $\dfrac{x+2}{3}$ este 0, iar împărțirea la 0 nu are sens.

Exemplul 10: împărțire cu descompuneri

Calculează $\dfrac{x^2-4}{x^2+x} : \dfrac{x-2}{x}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)} \cdot \dfrac{x}{x-2}

condiții:

x \neq 0

x \neq -1

x \neq 2

= \dfrac{x+2}{x+1}, \quad x \neq -1, \ x \neq 0, \ x \neq 2

Exemplul 11: ridicare la puterea a treia, cu două litere

Calculează $\left(\dfrac{3a}{2b}\right)^3$

Vezi rezolvarea

\left(\dfrac{3a}{2b}\right)^3=\dfrac{(3a)^3}{(2b)^3}

condiție:

b \neq 0

=\dfrac{27a^3}{8b^3}, \quad b \neq 0

(3a)^3=3^3 \cdot a^3

(2b)^3=2^3 \cdot b^3

Coeficientul se ridică și el la putere: $3^3=27$ nu $3$

Exemplul 12: baza este o diferență

Calculează $\left(\dfrac{x-3}{x+4}\right)^2$ și scrie rezultatul și cu numărătorul, și cu numitorul desfăcute.

Vezi rezolvarea

\left(\dfrac{x-3}{x+4}\right)^2=\dfrac{(x-3)^2}{(x+4)^2}

condiție:

x+4 \neq 0

adică

x \neq -4

=\dfrac{x^2-6x+9}{x^2+8x+16}, \quad x \neq -4

(x-3)^2=x^2-6x+9

(x+4)^2=x^2+8x+16

Forma $\dfrac{(x-3)^2}{(x+4)^2}$ este suficientă. Dacă desfaci parantezele, folosești formula $(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2$

Exemplul 13: simplificare, apoi putere, cu restricția ascunsă

Calculează $\left(\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}\right)^2$ și scrie toate condițiile.

Vezi rezolvarea

x^2+2x=x(x+2) \neq 0

condiții:

x \neq 0

x \neq -2

\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\dfrac{x-2}{x}

simplifici prin

x+2

\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2=\dfrac{(x-2)^2}{x^2}, \quad x \neq 0, \ x \neq -2

Din rezultat se vede doar $x \neq 0$ Condiția $x \neq -2$ vine din numitorul inițial $x^2+2x$ și trebuie scrisă în răspuns, chiar dacă $x+2$ a dispărut prin simplificare.

Exemplul 14: semnul bazei și puterea impară

Calculează $\left(-\dfrac{2x}{x+1}\right)^3$ și $\left(-\dfrac{2x}{x+1}\right)^2$

Vezi rezolvarea

\left(-\dfrac{2x}{x+1}\right)^3=-\dfrac{(2x)^3}{(x+1)^3}

condiție:

x \neq -1

putere impară, semnul se păstrează

=-\dfrac{8x^3}{(x+1)^3}, \quad x \neq -1

\left(-\dfrac{2x}{x+1}\right)^2=\dfrac{4x^2}{(x+1)^2}, \quad x \neq -1

putere pară, minusul dispare

Exemplul 15: puterea înaintea înmulțirii

Calculează $\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2 \cdot \dfrac{x-1}{x}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x^2}{(x-1)^2} \cdot \dfrac{x-1}{x}

condiții:

x \neq 1

(din prima fracție),

x \neq 0

(din a doua); întâi puterea

=\dfrac{x^2(x-1)}{(x-1)^2 \cdot x}

=\dfrac{x}{x-1}, \quad x \neq 0, \ x \neq 1

simplifici prin

x(x-1)

Condiția $x \neq 0$ vine din a doua fracție și rămâne, deși rezultatul $\dfrac{x}{x-1}$ există pentru $x=0$

Exemplul 16: paranteză, apoi împărțire

Calculează $\left(\dfrac{x}{x-1}-1\right) : \dfrac{1}{x^2-1}$

Vezi rezolvarea

Condiții: $x-1 \neq 0$ și $x^2-1=(x-1)(x+1) \neq 0$ deci $x \neq 1$ și $x \neq -1$ Împărțitorul $\dfrac{1}{x^2-1}$ are numărătorul 1, care nu este niciodată 0.

\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{x-(x-1)}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}

întâi paranteza

\dfrac{1}{x-1} \cdot \dfrac{(x-1)(x+1)}{1}

înmulțești cu inversa

= x+1, \quad x \neq 1, \ x \neq -1

Exemplul 17: înmulțirea înaintea adunării

Calculează $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+1}

condiții:

x \neq 0

x \neq -1

întâi înmulțirea

= \dfrac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}

= \dfrac{5x+2}{x(x+1)}, \quad x \neq 0, \ x \neq -1

Exemplul 18: analiză de erori la adunare

Un elev a scris $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{x+y}$ Găsește greșeala.

Vezi rezolvarea

Elevul a adunat numărătorii între ei și numitorii între ei. Verificare pentru $x=y=1$ stânga este $1+1=2$ dreapta este $\dfrac{2}{2}=1$ Calculul corect, cu $x \neq 0$ $y \neq 0$

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{y}{xy}+\dfrac{x}{xy}=\dfrac{x+y}{xy}

Exemplul 19: analiză de erori la împărțire

Un elev a calculat $\dfrac{x}{x-3} : \dfrac{x-3}{x}=\dfrac{x}{x-3} \cdot \dfrac{x-3}{x}=1$ Găsește greșeala.

Vezi rezolvarea

Elevul a înmulțit cu împărțitorul, nu cu inversa lui. Condițiile sunt $x \neq 3$ (numitorul primei fracții și numărătorul împărțitorului) și $x \neq 0$ (numitorul împărțitorului). Calculul corect:

\dfrac{x}{x-3} \cdot \dfrac{x}{x-3}

= \dfrac{x^2}{(x-3)^2}, \quad x \neq 0, \ x \neq 3

Exerciții rezolvate video

Greșeli frecvente

Ridic la putere doar numărătorul: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\dfrac{a^2}{b}$
Puterea se aplică și numărătorului, și numitorului: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}$ cu $b \neq 0$ Verificare pentru $a=2$ $b=3$ $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$ nu $\dfrac{4}{3}$
Scriu $\left(\dfrac{3x}{y}\right)^2=\dfrac{3x^2}{y^2}$
Coeficientul se ridică și el la pătrat: $(3x)^2=9x^2$ Rezultatul corect este $\dfrac{9x^2}{y^2}$ cu $y \neq 0$
După $\left(\dfrac{x^2-9}{x^2-3x}\right)^2=\left(\dfrac{x+3}{x}\right)^2$ scriu doar condiția $x \neq 0$
Condițiile se culeg din expresia inițială: $x^2-3x=x(x-3) \neq 0$ deci $x \neq 0$ și $x \neq 3$ Factorul $x-3$ a dispărut prin simplificare, dar $x \neq 3$ rămâne.
$\left(-\dfrac{a}{b}\right)^2=-\dfrac{a^2}{b^2}$
Minusul este în bază, deci se ridică și el la pătrat: $\left(-\dfrac{a}{b}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}$ Rezultatul este negativ doar dacă minusul este în afara puterii, $-\left(\dfrac{a}{b}\right)^2$ sau dacă puterea este impară.
Adun numărătorii între ei și numitorii între ei: $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{5}{x+y}$
Se adună doar fracții cu același numitor. Aduci la numitorul comun $xy$ $\dfrac{2y+3x}{xy}$ cu $x \neq 0$ $y \neq 0$
Scriu $\dfrac{3x+1}{x+2}-\dfrac{x-5}{x+2}=\dfrac{3x+1-x-5}{x+2}=\dfrac{2x-4}{x+2}$
Minusul din fața fracției se aplică întregului numărător: $3x+1-(x-5)=3x+1-x+5=2x+6$ Rezultatul corect este $\dfrac{2x+6}{x+2}$ cu $x \neq -2$
La $\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{3}{x^2-4}$ aleg numitorul comun $x-2$
Numitorul comun trebuie să conțină toți factorii numitorilor. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ deci numitorul comun este $(x-2)(x+2)$
Împart înmulțind cu împărțitorul: $\dfrac{x}{x-3} : \dfrac{x-3}{x}=\dfrac{x}{x-3} \cdot \dfrac{x-3}{x}$
Împărțirea se face prin înmulțire cu INVERSA împărțitorului: $\dfrac{x}{x-3} \cdot \dfrac{x}{x-3}=\dfrac{x^2}{(x-3)^2}$
La $\dfrac{x+2}{x-1} : \dfrac{x+2}{3}$ scriu doar condiția $x \neq 1$
Împărțitorul $\dfrac{x+2}{3}$ nu are voie să fie 0, deci și $x \neq -2$ Condițiile complete sunt $x \neq 1$ și $x \neq -2$
La $\dfrac{x+3}{x} \cdot \dfrac{x}{5}$ tai întâi $x$ din $\dfrac{x+3}{x}$ și scriu $3 \cdot \dfrac{x}{5}$
În $\dfrac{x+3}{x}$ $x$ este termen al sumei de la numărător, nu factor, deci nu se simplifică acolo. Factorul comun $x$ se simplifică între numitorul primei fracții și numărătorul celei de-a doua: $\dfrac{x+3}{x} \cdot \dfrac{x}{5}=\dfrac{x+3}{5}$ cu $x \neq 0$
După ce obțin $\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{6}{x^2-9}=\dfrac{1}{x+3}$ scriu doar condiția $x \neq -3$
Condițiile se culeg din expresia inițială, unde apare și factorul $x-3$ Răspunsul complet este $\dfrac{1}{x+3}$ cu $x \neq 3$ și $x \neq -3$
La $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1}$ fac întâi adunarea.
Înmulțirea se face înaintea adunării. Întâi $\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{3}{x+1}$ apoi adunarea: $\dfrac{5x+2}{x(x+1)}$ cu $x \neq 0$ $x \neq -1$

Exerciții

Ușor

Calculează $\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{8}{x}$ cu $x \neq 0$
Același numitor: aduni numărătorii, $3+5=8$
Calculează $\dfrac{2x}{x+4}+\dfrac{8}{x+4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ cu $x \neq -4$
$\dfrac{2x+8}{x+4}=\dfrac{2(x+4)}{x+4}=2$ cu $x \neq -4$
Calculează $\dfrac{7x}{x-1}-\dfrac{2x+5}{x-1}$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ cu $x \neq 1$
$\dfrac{7x-(2x+5)}{x-1}=\dfrac{5x-5}{x-1}=\dfrac{5(x-1)}{x-1}=5$ cu $x \neq 1$
Calculează $\dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{x^2}{6}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x}{3}$ cu $x \neq 0$
$\dfrac{2x^2}{6x}=\dfrac{x}{3}$ simplificând prin $2x$
Calculează $\dfrac{4}{x+1} : \dfrac{2}{x+1}$
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ cu $x \neq -1$
$\dfrac{4}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{2}=2$ Numărătorul împărțitorului este 2, nenul, deci nu apare o condiție nouă.
Calculează $\dfrac{x}{3} \cdot \dfrac{6}{x^2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{x}$ cu $x \neq 0$
$\dfrac{6x}{3x^2}=\dfrac{2}{x}$ simplificând prin $3x$
Calculează $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{2x}$ cu $x \neq 0$
Numitor comun $2x$ $\dfrac{2}{2x}-\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2x}$
Scrie condițiile de existență pentru expresia $\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{3}{x+5}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 2$ și $x \neq -5$
Fiecare numitor trebuie să fie diferit de 0.
Calculează $\left(\dfrac{x}{5}\right)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x^2}{25}$ Numitorul $5$ nu cere nicio condiție.
$\dfrac{x^2}{5^2}=\dfrac{x^2}{25}$
Calculează $\left(\dfrac{2}{y}\right)^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{8}{y^3}$ cu $y \neq 0$
$\dfrac{2^3}{y^3}=\dfrac{8}{y^3}$ cu $y \neq 0$
Calculează $\left(\dfrac{a}{3b}\right)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{a^2}{9b^2}$ cu $b \neq 0$
$\dfrac{a^2}{(3b)^2}=\dfrac{a^2}{9b^2}$ Coeficientul $3$ se ridică și el la pătrat.
Scrie condiția de existență pentru $\left(\dfrac{x+6}{x-7}\right)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 7$
Numitorul $x-7$ trebuie să fie diferit de 0. Numărătorul poate fi 0, deci nu dă condiție.
Calculează valoarea expresiei $\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^2$ pentru $x=3$
Arată răspunsul
Răspuns: $4$
$\left(\dfrac{3+1}{3-1}\right)^2=\left(\dfrac{4}{2}\right)^2=2^2=4$
Un elev a scris $\left(\dfrac{3}{m}\right)^3=\dfrac{3}{m^3}$ Corectează.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{27}{m^3}$ cu $m \neq 0$
Numărătorul se ridică și el la puterea a treia: $3^3=27$

Mediu

Calculează $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2x-1}{x(x-1)}$ cu $x \neq 0$ $x \neq 1$
$\dfrac{x-1+x}{x(x-1)}=\dfrac{2x-1}{x(x-1)}$
Calculează $\dfrac{2}{x+3}-\dfrac{1}{x-3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x-9}{(x+3)(x-3)}$ cu $x \neq 3$ $x \neq -3$
$\dfrac{2(x-3)-(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{2x-6-x-3}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{x-9}{(x+3)(x-3)}$
Calculează $\dfrac{3}{x^2-4}+\dfrac{1}{x-2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x+5}{(x-2)(x+2)}$ cu $x \neq 2$ $x \neq -2$
Numitor comun $(x-2)(x+2)$ $\dfrac{3+(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x+5}{(x-2)(x+2)}$
Calculează $\dfrac{4}{x^2-16}-\dfrac{1}{x-4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $-\dfrac{x}{(x-4)(x+4)}$ cu $x \neq 4$ $x \neq -4$
$\dfrac{4-(x+4)}{(x-4)(x+4)}=\dfrac{-x}{(x-4)(x+4)}$ Paranteza este necesară: $4-x-4=-x$
Calculează $\dfrac{x^2-1}{3x} \cdot \dfrac{6x}{x+1}$
Arată răspunsul
Răspuns: $2(x-1)$ cu $x \neq 0$ $x \neq -1$
$\dfrac{(x-1)(x+1) \cdot 6x}{3x(x+1)}=2(x-1)$
Calculează $\dfrac{x+5}{x^2-25} \cdot (x-5)$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ cu $x \neq 5$ $x \neq -5$
$\dfrac{(x+5)(x-5)}{(x-5)(x+5)}=1$ iar condițiile vin din $x^2-25$
Calculează $\dfrac{x^2-9}{x+1} : \dfrac{x-3}{x+1}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x+3$ cu $x \neq -1$ $x \neq 3$
$\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{x-3}=x+3$ Condiția $x \neq 3$ vine din numărătorul împărțitorului.
Calculează $\dfrac{5x}{x-2} : \dfrac{10x^2}{x^2-4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x+2}{2x}$ cu $x \neq 0$ $x \neq 2$ $x \neq -2$
$\dfrac{5x}{x-2} \cdot \dfrac{(x-2)(x+2)}{10x^2}=\dfrac{x+2}{2x}$ $x \neq 0$ vine din numărătorul împărțitorului, $10x^2$
Scrie condițiile de existență pentru $\dfrac{x+1}{x-4} : \dfrac{x-3}{x+2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 4$ $x \neq -2$ $x \neq 3$
Numitorii dau $x \neq 4$ și $x \neq -2$ împărțitorul nu poate fi 0, deci $x-3 \neq 0$
Calculează $\dfrac{x^2+6x+9}{x^2-9} \cdot \dfrac{x-3}{x+3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ cu $x \neq 3$ $x \neq -3$
$\dfrac{(x+3)^2(x-3)}{(x-3)(x+3)(x+3)}=1$
Un elev a scris $\dfrac{3x+1}{x+2}-\dfrac{x-5}{x+2}=\dfrac{2x-4}{x+2}$ Corectează.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2x+6}{x+2}$ cu $x \neq -2$
$3x+1-(x-5)=3x+1-x+5=2x+6$ Elevul nu a schimbat semnul lui $-5$ Rezultatul se mai poate scrie $\dfrac{2(x+3)}{x+2}$
Un elev a scris $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{5}{x+y}$ Corectează.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{3x+2y}{xy}$ cu $x \neq 0$ $y \neq 0$
Numitor comun $xy$ $\dfrac{2y}{xy}+\dfrac{3x}{xy}=\dfrac{3x+2y}{xy}$ Verificare pentru $x=y=1$ $2+3=5$ iar $\dfrac{5}{2}$ nu este 5.
Calculează $\left(\dfrac{x+5}{x-1}\right)^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{(x+5)^3}{(x-1)^3}$ cu $x \neq 1$
Puterea a treia se aplică numărătorului și numitorului. Condiția vine din $x-1 \neq 0$
Calculează $\left(\dfrac{4x^2}{6x^3}\right)^2$ și scrie condiția de existență.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{4}{9x^2}$ cu $x \neq 0$
Condiție: $6x^3 \neq 0$ deci $x \neq 0$ Baza se simplifică prin $2x^2$ $\dfrac{4x^2}{6x^3}=\dfrac{2}{3x}$ Apoi $\left(\dfrac{2}{3x}\right)^2=\dfrac{4}{9x^2}$
Calculează $\left(-\dfrac{5x}{3y}\right)^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $-\dfrac{125x^3}{27y^3}$ cu $y \neq 0$
Puterea este impară, deci semnul minus se păstrează: $-\dfrac{(5x)^3}{(3y)^3}=-\dfrac{125x^3}{27y^3}$
Calculează $\left(\dfrac{x^2-9}{x+3}\right)^2$ și scrie toate condițiile.
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-3)^2$ cu $x \neq -3$
Condiție: $x+3 \neq 0$ Baza: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$ Apoi $(x-3)^2$ Condiția $x \neq -3$ rămâne, deși factorul $x+3$ a dispărut.
Calculează $\left(\dfrac{a-b}{a+b}\right)^2$ și scrie condiția de existență.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$ cu $a+b \neq 0$
Numitorul $a+b$ trebuie să fie diferit de 0. Puterea se aplică întregului numărător și întregului numitor.
Calculează $\left(-\dfrac{x}{2}\right)^2$ și $-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$ Sunt egale?
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x^2}{4}$ și $-\dfrac{x^2}{4}$ Nu sunt egale (decât pentru $x=0$
În primul caz minusul este în bază, deci se ridică la pătrat și dispare. În al doilea caz minusul este în afara puterii și rămâne.
Calculează $\left(\dfrac{x}{x+2}\right)^2 : \dfrac{x}{x+2}$ și scrie toate condițiile.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x}{x+2}$ cu $x \neq -2$ $x \neq 0$
Numitorul dă $x \neq -2$ iar împărțitorul $\dfrac{x}{x+2}$ nu poate fi 0, deci $x \neq 0$ Apoi $\dfrac{x^2}{(x+2)^2} \cdot \dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x}{x+2}$

Provocare

Calculează $\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \cdot \dfrac{x}{x+1}$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ cu $x \neq 0$ $x \neq -1$
$1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}$ apoi $\dfrac{x+1}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1}=1$
Calculează $\left(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{x}{x+2}\right) : \dfrac{4x}{x^2-4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ cu $x \neq 2$ $x \neq -2$ $x \neq 0$
Paranteza: $\dfrac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{4x}{x^2-4}$ Împărțirea la aceeași fracție dă 1. $x \neq 0$ vine din numărătorul împărțitorului, $4x$
Calculează $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x^2-1}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{x+1}$ cu $x \neq 1$ $x \neq -1$
$\dfrac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{x+1}$ Condiția $x \neq 1$ rămâne.
Calculează $\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4} : \dfrac{x-2}{x^2+2x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x$ cu $x \neq 2$ $x \neq -2$ $x \neq 0$
$\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \cdot \dfrac{x(x+2)}{x-2}=x$ Condiții: $x^2-4 \neq 0$ $x^2+2x=x(x+2) \neq 0$ și numărătorul împărțitorului $x-2 \neq 0$
Calculează $\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{x}{x+3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{6-x}{x(x+3)}$ cu $x \neq 0$ $x \neq -3$
Întâi înmulțirea: $\dfrac{3}{x+3}$ Apoi $\dfrac{2(x+3)-3x}{x(x+3)}=\dfrac{6-x}{x(x+3)}$
Calculează $\dfrac{x^2-4}{x-2} : (x+2)$ și scrie toate condițiile.
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ cu $x \neq 2$ $x \neq -2$
$\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} \cdot \dfrac{1}{x+2}=1$ $x \neq 2$ vine din numitor, $x \neq -2$ din împărțitorul $x+2$ care nu poate fi 0.
Calculează $\dfrac{x+1}{x}+\dfrac{x-1}{x} \cdot \dfrac{x}{x-1}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2x+1}{x}$ cu $x \neq 0$ $x \neq 1$
Întâi înmulțirea, care dă 1 pentru $x \neq 0$ $x \neq 1$ Apoi $\dfrac{x+1}{x}+1=\dfrac{2x+1}{x}$ Condiția $x \neq 1$ rămâne, deși factorul $x-1$ a dispărut.
Se consideră expresia $E(x)=\left(\dfrac{x}{x-3}\right)^2 \cdot \dfrac{x^2-9}{x^2}$ definită pentru $x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 3\}$ Arată că $E(x)=\dfrac{x+3}{x-3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $E(x)=\dfrac{x+3}{x-3}$ pentru $x \neq 0$ $x \neq 3$
$E(x)=\dfrac{x^2}{(x-3)^2} \cdot \dfrac{(x-3)(x+3)}{x^2}=\dfrac{x+3}{x-3}$ simplificând prin $x^2(x-3)$ Condițiile $x \neq 0$ și $x \neq 3$ vin din expresia inițială.
Arată că, pentru $x \neq 0$ valoarea expresiei $\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^2-\left(\dfrac{1}{x}\right)^2-\dfrac{2}{x}$ nu depinde de $x$
Arată răspunsul
Răspuns: Valoarea este $1$ pentru orice $x \neq 0$
$\dfrac{(x+1)^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{x^2+2x+1-1-2x}{x^2}=\dfrac{x^2}{x^2}=1$
Calculează $\left(\dfrac{x-2}{x^2-4}\right)^3$ și scrie toate condițiile.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{(x+2)^3}$ cu $x \neq 2$ $x \neq -2$
Condiții: $x^2-4=(x-2)(x+2) \neq 0$ Baza: $\dfrac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{1}{x+2}$ Apoi $\left(\dfrac{1}{x+2}\right)^3=\dfrac{1}{(x+2)^3}$ Condiția $x \neq 2$ rămâne, deși nu se mai vede în rezultat.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Rezultatul sumei $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}$ este:
1. $\dfrac{x+1}{2x+2}$
2. $1$ cu $x \neq -1$
3. $\dfrac{x}{x+1}$
4. $x+1$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ cu $x \neq -1$
$\dfrac{x+1}{x+1}=1$ cu $x \neq -1$
2. Un numitor comun potrivit pentru $\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x^2-4}$ este:
1. $x-2$
2. $x+2$
3. $(x-2)^2$
4. $(x-2)(x+2)$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-2)(x+2)$
$x^2-4=(x-2)(x+2)$ conține deja factorul $x-2$
3. Rezultatul diferenței $\dfrac{2x+3}{x-1}-\dfrac{x+1}{x-1}$ este:
1. $\dfrac{x+2}{x-1}$
2. $\dfrac{x+4}{x-1}$
3. $\dfrac{3x+4}{x-1}$
4. $\dfrac{x+2}{2x-2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x+2}{x-1}$
$2x+3-(x+1)=x+2$ cu $x \neq 1$
4. Pentru a împărți la o fracție algebrică:
1. înmulțești cu ea
2. împarți doar numărătorii
3. înmulțești cu inversa ei
4. aduni inversa ei
Arată răspunsul
Răspuns: înmulțești cu inversa ei
$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$ cu $C \neq 0$
5. Condițiile de existență pentru $\dfrac{x+2}{x-5} : \dfrac{x-1}{x+4}$ sunt:
1. $x \neq 5$ $x \neq -4$
2. $x \neq 5$ $x \neq 1$
3. $x \neq -2$ $x \neq 1$
4. $x \neq 5$ $x \neq -4$ $x \neq 1$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 5$ $x \neq -4$ $x \neq 1$
Numitorii dau $x \neq 5$ și $x \neq -4$ iar împărțitorul nenul cere $x \neq 1$
6. În expresia $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{x}{3}$ prima operație efectuată este:
1. adunarea
2. înmulțirea
3. oricare dintre ele
4. simplificarea lui $x$ din $\dfrac{1}{x}$
Arată răspunsul
Răspuns: înmulțirea
Înmulțirea se face înaintea adunării.
7. Pentru $b \neq 0$ expresia $\left(\dfrac{a}{b}\right)^2$ este egală cu:
1. $\dfrac{a^2}{b}$
2. $\dfrac{a}{b^2}$
3. $\dfrac{a^2}{b^2}$
4. $\dfrac{2a}{2b}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{a^2}{b^2}$
Puterea se aplică și numărătorului, și numitorului: $\dfrac{a^2}{b^2}$
8. Condițiile de existență pentru $\left(\dfrac{x-2}{x^2-2x}\right)^2$ sunt:
1. $x \neq 0$ $x \neq 2$
2. $x \neq 0$
3. $x \neq 2$
4. nu are condiții
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 0$ $x \neq 2$
$x^2-2x=x(x-2) \neq 0$ deci $x \neq 0$ și $x \neq 2$ chiar dacă baza se simplifică la $\dfrac{1}{x}$
9. Calculează $\left(\dfrac{5}{2x}\right)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{25}{4x^2}$ cu $x \neq 0$
$\dfrac{5^2}{(2x)^2}=\dfrac{25}{4x^2}$ Coeficientul $2$ se ridică și el la pătrat.
10. Calculează $\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{x^2}{9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x}{3}$ cu $x \neq 0$
$\dfrac{3x^2}{9x}=\dfrac{x}{3}$ simplificând prin $3x$
11. Calculează $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2(x+1)}{x(x+2)}$ cu $x \neq 0$ $x \neq -2$
$\dfrac{x+2+x}{x(x+2)}=\dfrac{2x+2}{x(x+2)}=\dfrac{2(x+1)}{x(x+2)}$
12. Calculează $\dfrac{x^2-16}{x} : \dfrac{x+4}{x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x-4$ cu $x \neq 0$ $x \neq -4$
$\dfrac{(x-4)(x+4)}{x} \cdot \dfrac{x}{x+4}=x-4$ $x \neq -4$ vine din împărțitor.

Întrebări frecvente

Cum adun două fracții algebrice?

Dacă au același numitor, aduni numărătorii și păstrezi numitorul. Dacă nu, descompui numitorii, alegi numitorul comun, amplifici fiecare fracție, apoi aduni numărătorii.

Cum aleg numitorul comun?

Descompui fiecare numitor în factori și iei fiecare factor o singură dată, la puterea cea mai mare. De exemplu, pentru $x-3$ și $x^2-9$ numitorul comun este $(x-3)(x+3)$

Cum împart două fracții algebrice?

Înmulțești prima fracție cu inversa celei de-a doua. Împărțitorul trebuie să fie diferit de 0, deci și numărătorul lui intră în condițiile de existență.

De unde iau condițiile de existență într-o expresie cu mai multe operații?

Din expresia inițială: din toți numitorii și, la fiecare împărțire, din numărătorul împărțitorului. Le scrii la început și le păstrezi în rezultat.

Cum ridic o fracție algebrică la o putere?

Ridici numărătorul și numitorul la acea putere: $\left(\dfrac{A}{B}\right)^n=\dfrac{A^n}{B^n}$ cu $B \neq 0$ Dacă numărătorul sau numitorul este o sumă sau o diferență, îl scrii între paranteze.

Dacă simplific baza înainte de a ridica la putere, ce se întâmplă cu condițiile?

Rămân cele din expresia inițială. De exemplu, în $\left(\dfrac{x+1}{x^2+x}\right)^2$ ai $x \neq 0$ și $x \neq -1$ deși după simplificare apare doar $\dfrac{1}{x^2}$

De ce trebuie pus minusul în fața unei paranteze la scădere?

Pentru că se scade întregul numărător. De exemplu, $\dfrac{A}{B}-\dfrac{x-5}{B}=\dfrac{A-(x-5)}{B}=\dfrac{A-x+5}{B}$ iar minusul schimbă semnul fiecărui termen din paranteză.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Operații cu fracții algebrice

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VIII-a

Ce vei învăța

Ideea de bază

Condițiile de existență, înainte de orice calcul

Adunarea și scăderea cu același numitor

Adunarea și scăderea cu numitori diferiți

Înmulțirea

Împărțirea

Ridicarea la putere

Ordinea operațiilor

Exemple rezolvate

Exemplul 1: adunare cu același numitor

Exemplul 2: scădere cu același numitor

Exemplul 3: simplificare după scădere

Exemplul 4: numitori fără factori comuni

Exemplul 5: numitor comun prin descompunere

Exemplul 6: scădere cu numitori diferiți

Exemplul 7: înmulțire cu simplificare

Exemplul 8: înmulțire cu rezultat 1

Exemplul 9: împărțire, condiția din împărțitor

Exemplul 10: împărțire cu descompuneri

Exemplul 11: ridicare la puterea a treia, cu două litere

Exemplul 12: baza este o diferență

Exemplul 13: simplificare, apoi putere, cu restricția ascunsă

Exemplul 14: semnul bazei și puterea impară

Exemplul 15: puterea înaintea înmulțirii

Exemplul 16: paranteză, apoi împărțire

Exemplul 17: înmulțirea înaintea adunării

Exemplul 18: analiză de erori la adunare

Exemplul 19: analiză de erori la împărțire

Exerciții rezolvate video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a